DISTRIBUCION BETA

INTRODUCCIÓN
Una distribución que permite generar una gran variedad de perfiles es la distribución beta. Se ha utilizado para representar variables físicas cuyos valores de encuentran restringidos a un intervalo de longitud finita y para encontrar ciertas cantidades que se conocen como límites de tolerancia sin necesidad de la hipótesis de una distribución normal. Además, la distribución beta juega un gran papel en la estadística bayesiana.

DEFINICIÓN
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución beta de parámetros α y β ambos mayores que 0 si su función de densidad está definida como:


Las cantidades α y β de la distribución beta son, ambas, parámetros de perfil. Valores distintos de α y β darán distintos perfiles para la función de densidad beta. Si tanto α como β son menores que uno, la distribución beta tiene un perfil en forma de U. Si α<1 y β≥ 1 , la distribución tiene un perfil de J transpuesta, y si β<1 y α≥ 1, el perfil es una J. Cuando los dos valores son mayores que uno, la distribución presenta un pico en x = (α - 1)/(α + β - 2). Finalmente, la distribución beta es simétrica cuando α = β. Se pueden obtener ejemplos de todas estas formas mediante la utilización del applet situado más abajo, donde dando diferentes valores a α y β se podrán apreciar los diferentes perfiles de la función según estos valores.

La función de distribución acumulativa se encuentra definida por:


ESPERANZA Y VARIANZA


EJEMPLO 1

Los sensores de infrarrojos de un sistema robótico computarizado envían información a otros sensores en diferentes formatos. El porcentaje y de las señales que se envían y que son directamente compatibles para todos los sensores del sistema sigue una distribución beta con α = β = 2.

a) Calcule la probabilidad de que más del 30% de las señales de infrarrojos enviadas en el sistema sean directamente compatibles para todos los sensores.

b) Calcula la media y la varianza de y.

a) La función de densidad de probabilidad para y está dada por:


Si sustituimos α = β = 2 en la expresión para f(y), obtenemos:


La probabilidad que buscamos es P(y>0.30). Al integrar f(y) obtenemos:


b) La media y la varianza serían:


Imagen distribución beta

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA , DISTRIBUCIÓN UNIFORME

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

En estadística, la distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta. El número de ensayos en que ocurre el k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ. Donde k es el número de ensayos exitosos donde acaba el experimento y θ es la probabilidad de éxito en un ensayo y x el número de ensayos realizados.

B*(x;k;θ) =(k+x-1)θk(1-θ)x
x
Para = (1,2,3...)

Siendo (k+x-1) = (k + x – 1)
X (x)ﺇ[(k + x – 1) ]– (x)ﺇ

Su media y su varianza son:
Ų= k(1-θ) / θ

σ2= k(1-θ)/ θ2

Por ejemplo, si la probabilidad es de 0,40 de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga, ¿cual es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla?

X =10, k=3, θ=0.40

B*(10;3;0.4) = (10-1combinado3-1) 0.43(1-0.4)10-3=(9 combinado2)0.43(0.6)7 = 0.0645


DISTRIBUCIÓN UNIFORME PARA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

En estadística la distribución uniforme es una función de densidad de probabilidad cuyos valores tienen la misma probabilidad.

Artículo principal: Distribución uniforme (continua)

Distribución uniforme (caso continuo).
Se dice que una variable aleatoria X continua tiene una distribución uniforme en el intervalo )a,b) si la función de densidad de probabilidad (FDP) es
F(x) = (1/b-a) para a ≤ x ≤ b
0 para el resto

La función de distribución en el caso continuo entre ay b es
F(x) = 0 para x < a
(x-a/b-a) para a ≤ x ≤ b
1 para x ≥ b

Su media estadística es:
Ų= a + b / 2

Su varianza es:
σ2= (b – a)2 / 12

Proposición:
Si X es una variable aleatoria continua, entonces para cualquier número C,P (X=c) = 0, además para cualesquiera dos números ay b con a ≤ b,
P( a < X ≤ b)
P(a ≤ X ≤ b) = P( a ≤ X < b)
P( a < X < b)

Es decir, la probabilidad asignada a cualquier valor particular es cero, y la probabilidad de un intervalo no depende de si cualquiera de sus puntos finales está incluido.
Ejemplo para variable aleatoria continua
La tecla RANDOM de la calculadora arroja números al azar entre cero y uno. La distribución de esos números simula ser una distribución uniforme continua entre 0 y 1.
Función de distribución acumulada para variable aleatoria continua
La función de distribución acumulada F(X) para una variable aleatoria X continua está definida para cualquier número X por

F(x) = P (X ≤ x ) = ∫x f(x) dx

Para cada x, F(x) aumenta suavemente a medida que aumenta.


Simulación
La distribución uniforme entre 0 y 1, mencionada en el ejemplo anterior, tiene una aplicación muy importante en simulación. Si se desea simular valores de una distribución cualquiera, el procedimiento es, básicamente, el siguiente: Se toma la función de distribución acumulada de la distribución a simular, y se construye su inversa. Luego se simulan valores uniformes entre 0 y 1, y se aplica la función inversa hallada a esos valores. De esta manera se obtienen los valores de cualquier distribución deseada..

Distribución hipergeométrica

Ejemplo: En Bogotá hay una epidemia de gripa y en un aula de clases hay 20 estudiantes y 8 de ellos tienen gripa. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una muestra de 6 estudiantes en la cual haya 3 enfermos?:

Si observamos el ejercicio 20 es el número de la población, o sea N. Como 8 tienen gripa es la población señalada como éxito, o sea r. El tamaño de la muestra es 6, o sea n. Y por ultimo el número que indica el éxito de la muestra, en este caso 3, o sea X.

Realizamos la respectivas combinaciones en nuestras calculadores y cada combinación nos dada.

Hay una probabilidad del 0,32% aproximadamente de elegir 6 estudiantes, de los cuales 3 estén enfermos de gripa.

Si observamos detenidamente el ejercicio solo hay dos resultados posibles, que los estudiantes están: 1) Enfermos con gripa o 2) Sanos. ¿Que lo diferencia de la distribución binomial?. Aquí se elegía una muestra de 6 de una población de 20 estudiantes. Debido a esto la alteración era significativa cada vez que elegía una observación en este caso estudiantes del aula para formar parte de una muestra.

Distribución hipergeométrica
En estadística la Distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta con tres parámetros discretos N, d y n cuya función de probabilidad es:


Aquí, (a/b) se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones posibles al seleccionar b elementos de un total a.
Esta distribución se refiere a un espacio muestra donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener un número de objetos x de uno de los tipos, al sacar una muestra de tamaño n, de un total de N objetos, de los cuales d son del tipo requerido.
El valor esperado de una variable aleatoria X de distribución hipergeométrica es

Y su varianza

DISTRIBUCIÓN GAMMA
En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros k y λ cuya función de densidad para valores x > 0 es

Aquí e es el número e y Γ es la función gamma. Para valores enteros la función gamma queda como Γ(k) = (k − 1)! (siendo ! la función factorial. En este caso - por ejemplo para describir un proceso de Poisson - se llaman la distribición distribución Erlang con un parámetro θ = 1 / λ.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son

E [X] = k / λ = kθ
V(X) = k / λ2 = kθ2