CPL 20078: DISTRIBUCION BETA

INTRODUCCIÓN
Una distribución que permite generar una gran variedad de perfiles es la distribución beta. Se ha utilizado para representar variables físicas cuyos valores de encuentran restringidos a un intervalo de longitud finita y para encontrar ciertas cantidades que se conocen como límites de tolerancia sin necesidad de la hipótesis de una distribución normal. Además, la distribución beta juega un gran papel en la estadística bayesiana.

DEFINICIÓN
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución beta de parámetros α y β ambos mayores que 0 si su función de densidad está definida como:

Las cantidades α y β de la distribución beta son, ambas, parámetros de perfil. Valores distintos de α y β darán distintos perfiles para la función de densidad beta. Si tanto α como β son menores que uno, la distribución beta tiene un perfil en forma de U. Si α<1 y β≥ 1 , la distribución tiene un perfil de J transpuesta, y si β<1 y α≥ 1, el perfil es una J. Cuando los dos valores son mayores que uno, la distribución presenta un pico en x = (α - 1)/(α + β - 2). Finalmente, la distribución beta es simétrica cuando α = β. Se pueden obtener ejemplos de todas estas formas mediante la utilización del applet situado más abajo, donde dando diferentes valores a α y β se podrán apreciar los diferentes perfiles de la función según estos valores.

La función de distribución acumulativa se encuentra definida por:

ESPERANZA Y VARIANZA

EJEMPLO 1

Los sensores de infrarrojos de un sistema robótico computarizado envían información a otros sensores en diferentes formatos. El porcentaje y de las señales que se envían y que son directamente compatibles para todos los sensores del sistema sigue una distribución beta con α = β = 2.

a) Calcule la probabilidad de que más del 30% de las señales de infrarrojos enviadas en el sistema sean directamente compatibles para todos los sensores.

b) Calcula la media y la varianza de y.

a) La función de densidad de probabilidad para y está dada por: